حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 9$ و $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4.2

اضرب $x^{2} - 81$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 81$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.7

بما أن $- 81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 81$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2

اضرب $- 2$ في $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ ومجموعهما $b = - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1.1

أخرِج العامل $- 18$ من $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.1.2

أعِد كتابة $- 18$ في صورة $- 9$ زائد $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.6.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

خطوة 2.1.3.6.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7.2

أعِد كتابة $- 9$ بالصيغة $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7.4

أعِد كتابة $- (x + 9)$ بالصيغة $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7.5

ارفع $x + 9$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7.6

ارفع $x + 9$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.7.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 9)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 3.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 9)}^{2} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 5.2.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 6

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ هو $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ .

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 9)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اطرح $9$ من $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

خطوة 7.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

خطوة 7.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (8) = - 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 8$ هو $- 1$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 9)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 9)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(9, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $10$ في العبارة.

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اطرح $9$ من $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

خطوة 8.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

خطوة 8.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

خطوة 8.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (10) = - 1$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 10$ هو $- 1$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(9, \infty)$ .

تناقص خلال $(9, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, 9), (9, \infty)$

خطوة 10