حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{16}{x}$ , $y = x$ , $y = \frac{x}{4}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{16}{x} = x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{16}{x} = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x, 1 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.2

اضرب كل حد في $\frac{16}{x} = x$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب كل حد في $\frac{16}{x} = x$ في $x$ .

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اضرب $x$ في $x$ .

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} = 16$ .

$x^{2} = 16 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط $\pm \sqrt{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.2.3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = 4 y = \frac{4}{4}$

خطوة 1.3.2

احذِف الأقواس.

$y = 4$

خطوة 1.4

عوّض بـ $4$ عن $x$ في $y = \frac{4}{4}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{4}{4}$

خطوة 1.4.2

اقسِم $4$ على $4$ .

$y = 1$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4$ .

$y = - 4 y = \frac{- 4}{4}$

خطوة 1.5.2

احذِف الأقواس.

$y = - 4$

خطوة 1.6

اقسِم $- 4$ على $4$ .

$y = - 1$

خطوة 1.7

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} x d x - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 4}^{4} x - (\frac{16}{x}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $\frac{16}{x}$ .

$\int_{- 4}^{4} x - \frac{16}{x} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 4}^{4} x d x + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

خطوة 3.6

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - (16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3.7

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.8

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

خطوة 3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} x^{2}$ في $4$ وفي $- 4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

خطوة 3.9.1.2

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $4$ وفي $- 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.3.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$8 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.4

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.5

اضرب $16$ في $- 1$ .

$8 - 16 (\frac{1}{2}) - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.6

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 16}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 16$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 + \frac{- 8}{1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.7.2.4

اقسِم $- 8$ على $1$ .

$8 - 8 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.8

اطرح $8$ من $8$ .

$0 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.1.3.9

اطرح $16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$ من $0$ .

$- 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

خطوة 3.9.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 16 \ln (\frac{| 4 |}{| - 4 |})$

خطوة 3.9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{| - 4 |})$

خطوة 3.9.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 4$ و $0$ تساوي $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{4})$

خطوة 3.9.3.3

اقسِم $4$ على $4$ .

$- 16 \ln (1)$

خطوة 3.9.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- 16 \cdot 0$

خطوة 3.9.3.5

اضرب $- 16$ في $0$ .

$0$

خطوة 4