حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

خطوة 1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

خطوة 1.3

بما أن الدالة $e^{x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 2$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $- 2$ المحذوف.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 1.3.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.3.3

بما أن الدالة $e^{x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 2$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.3.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{- \infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

خطوة 3.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

خطوة 5.2

انقُل الحد $\frac{1}{- 2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x (e^{x})}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 7.2

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

خطوة 7.2.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{2}$ .

$0$