حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(1 + \frac{5}{x})}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 1 + \frac{5}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \frac{5}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{5}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

خطوة 1.2.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

خطوة 1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب $5$ في $3$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.2.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

خطوة 1.2.7

اضرب $- 1$ في $15$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} x^{- 2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $- 15$ .

$\frac{- 15}{x^{2}} {(1 + \frac{5}{x})}^{2}$

خطوة 1.3.2.2

اجمع $\frac{- 15}{x^{2}}$ و ${(1 + \frac{5}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{15 {(\frac{x}{x} + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{15 {(\frac{x + 5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x + 5}{x}$ .

$- \frac{15 \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.4

اجمع $15$ و $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 1.3.6

اجمع.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

خطوة 1.3.7

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

خطوة 1.3.7.2

أضف $2$ و $2$ .

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

خطوة 1.3.8

اضرب $15 {(x + 5)}^{2}$ في $1$ .

$f' (x) = - \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ و $g (x) = x^{4}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.5.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + 0)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \cdot 1) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.5.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

خطوة 2.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.5.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 2.5.6.2

اجمع $- 15$ و $\frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.5.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x + 2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x)) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$- \frac{15 (x \cdot x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{15 (x^{1} x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{15 (x^{1 + 4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$- \frac{15 (x^{5} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{5}$ .

$- \frac{15 (2 \cdot x^{5}) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.3

اضرب $2$ في $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.4

اضرب $2$ في $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} \cdot 10) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.5

انقُل $10$ إلى يسار $x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (10 \cdot x^{4}) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.6

اضرب $10$ في $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.7

أعِد كتابة ${(x + 5)}^{2}$ بالصيغة $(x + 5) (x + 5)$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 ((x + 5) (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.8

وسّع $(x + 5) (x + 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.9.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.9.1.2

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.9.1.3

اضرب $5$ في $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.9.2

أضف $5 x$ و $5 x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 10 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.10

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 4 (10 x) - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.11.1

اضرب $10$ في $- 4$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.11.2

اضرب $- 4$ في $25$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 100) x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.12

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{2} x^{3} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.13.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.13.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.13.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{3 + 2} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.13.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.13.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.13.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.13.2.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.13.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x^{1}) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.13.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{3 + 1} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.13.2.3

أضف $3$ و $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{4} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.14

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5}) + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.15.1

اضرب $- 4$ في $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.15.2

اضرب $- 40$ في $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.1.15.3

اضرب $- 100$ في $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.2

اطرح $60 x^{5}$ من $30 x^{5}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} + 150 x^{4} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 2.6.4.3

اطرح $600 x^{4}$ من $150 x^{4}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

أخرِج العامل $30 x^{3}$ من $- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1.1

أخرِج العامل $30 x^{3}$ من $- 30 x^{5}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.1.2

أخرِج العامل $30 x^{3}$ من $- 450 x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.1.3

أخرِج العامل $30 x^{3}$ من $- 1500 x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.1.4

أخرِج العامل $30 x^{3}$ من $30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.1.5

أخرِج العامل $30 x^{3}$ من $30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x - 50)}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 50 = 50$ ومجموعهما $b = - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.1.1

أخرِج العامل $- 15$ من $- 15 x$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 (x) - 50)}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.2.1.2

أعِد كتابة $- 15$ في صورة $- 5$ زائد $- 10$

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} + (- 5 - 10) x - 50)}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 5 x - 10 x - 50)}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- \frac{30 x^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 10 x - 50)}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- \frac{30 x^{3} (x (- x - 5) + 10 (- x - 5))}{x^{8}}$

خطوة 2.6.5.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 5$ .

$- \frac{30 x^{3} ((- x - 5) (x + 10))}{x^{8}}$

$- \frac{30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)}{x^{8}}$

خطوة 2.6.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.6.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{8}}$

خطوة 2.6.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.6.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

خطوة 2.6.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

خطوة 2.6.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{(30 (- x - 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 2.6.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- \frac{30 (- (x) - 5) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 2.6.8

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x) - 1 (5)) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 2.6.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 2.6.10

أعِد كتابة $- (x + 5)$ بالصيغة $- 1 (x + 5)$ .

$- \frac{30 (- 1 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 2.6.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 2.6.12

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 2.6.13

اضرب $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ في $1$ .

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 2.6.14

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$

خطوة 3.2

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

خطوة 3.3.2

اضرب $5$ في $2$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 5$ و $g (x) = x + 10$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.3

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $x + 5$ في $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.7

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + 0)) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \cdot 1) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.8.2

اضرب $x + 10$ في $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + x + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 5 + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.8.4

أضف $5$ و $10$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.5.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) (5 x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 3.5.10

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.10.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 3.5.10.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.10.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5} (2 x + 15)$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 3.5.10.2.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $- 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

خطوة 3.5.10.2.3

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

خطوة 3.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{10}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$30 \frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$

خطوة 3.7

اجمع $30$ و $\frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$ .

$\frac{30 (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 + (- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{30 (x (2 x)) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{30 (x \cdot x \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{30 (x^{2} \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{30 (2 \cdot x^{2}) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.3

اضرب $2$ في $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.4

انقُل $15$ إلى يسار $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (15 \cdot x) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.5

اضرب $15$ في $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.6

اضرب $- 5$ في $5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 25) (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.7

وسّع $(- 5 x - 25) (x + 10)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x (x + 10) - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1.8.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1.8.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.8.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.8.1.2

اضرب $10$ في $- 5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.8.1.3

اضرب $- 25$ في $10$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 250)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.8.2

اطرح $25 x$ من $- 50 x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 75 x - 250)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2}) + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1.10.1

اضرب $- 5$ في $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.10.2

اضرب $- 75$ في $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.1.10.3

اضرب $30$ في $- 250$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.2

اطرح $150 x^{2}$ من $60 x^{2}$ .

$\frac{- 90 x^{2} + 450 x - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

خطوة 3.8.4.3

اطرح $2250 x$ من $450 x$ .

$\frac{- 90 x^{2} - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

خطوة 3.8.5

أخرِج العامل $30$ من $- 90 x^{2} - 1800 x - 7500$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.5.1

أخرِج العامل $30$ من $- 90 x^{2}$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

خطوة 3.8.5.2

أخرِج العامل $30$ من $- 1800 x$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) - 7500}{x^{6}}$

خطوة 3.8.5.3

أخرِج العامل $30$ من $- 7500$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.5.4

أخرِج العامل $30$ من $30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.5.5

أخرِج العامل $30$ من $30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x - 250)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - 60 x - 250)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 60 x$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - (60 x) - 250)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - (60 x)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 250)}{x^{6}}$

خطوة 3.8.9

أعِد كتابة $- 250$ بالصيغة $- 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.11

أعِد كتابة $- (3 x^{2} + 60 x + 250)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250)$ .

$\frac{30 (- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

خطوة 3.8.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = - \frac{30 (3 x^{2} + 60 x + 250)}{x^{6}}$