حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{9} \cot (3 x - 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{9} \cdot \cot (3 x - 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\cot (3 x - 1)]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\cot (3 x - 1)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = 3 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x - 1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cot (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{9} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - 1$ .

$\frac{1}{9} (- \csc^{2} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $\csc^{2} (3 x - 1)$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 + 0)$

خطوة 1.3.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

أضف $3$ و $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} \cdot 3$

خطوة 1.3.7.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9}$

خطوة 1.3.7.3

اجمع $- 3$ و $\frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9}$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 x - 1)}{9}$

خطوة 1.3.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 \csc^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{9}$

خطوة 1.3.7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{3 (3)}$

خطوة 1.3.7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{3 \cdot 3}$

خطوة 1.3.7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$

خطوة 1.3.7.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \csc (3 x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\csc (3 x - 1)$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\csc (3 x - 1)$ .

$- \frac{1}{3} (2 \csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

خطوة 2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) (\csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

خطوة 2.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} (\csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

خطوة 2.3.3

اجمع $\csc (3 x - 1)$ و $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\csc (3 x - 1) \cdot - 2}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)]$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

انقُل $- 2$ إلى يسار $\csc (3 x - 1)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (3 x - 1)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)]$

خطوة 2.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 3 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x - 1$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.4.2

مشتق $\csc (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x - 1$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.5.2

اضرب $\frac{2 \csc (3 x - 1)}{3}$ في $1$ .

$\frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.5.3

اجمع $\csc (3 x - 1)$ و $\frac{2 \csc (3 x - 1)}{3}$ .

$\frac{\csc (3 x - 1) (2 \csc (3 x - 1))}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.6

ارفع $\csc (3 x - 1)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc (3 x - 1))}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.7

ارفع $\csc (3 x - 1)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc^{1} (3 x - 1))}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 {\csc (3 x - 1)}^{1 + 1}}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

خطوة 2.9.2

اجمع $\cot (3 x - 1)$ و $\frac{2 \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$ .

$\frac{\cot (3 x - 1) (2 \csc^{2} (3 x - 1))}{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

خطوة 2.9.3

انقُل $2$ إلى يسار $\cot (3 x - 1)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

خطوة 2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.11

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.13

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (3 + 0)$

خطوة 2.15

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} \cdot 3$

خطوة 2.15.2

اجمع $\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$ و $3$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1) \cdot 3}{3}$

خطوة 2.15.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$

خطوة 2.15.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1))}{3}$

خطوة 2.15.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1))}{3 (1)}$

خطوة 2.15.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1))}{3 \cdot 1}$

خطوة 2.15.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{1}$

خطوة 2.15.4.2.4

اقسِم $2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)$ على $1$ .

$2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)$

خطوة 2.15.5

أعِد ترتيب عوامل $2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1)$