حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 10$ و $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.4

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.7.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 2 (x + 10) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.7.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 (x + 10) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.7.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

خطوة 1.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 1.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 1.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

اضرب $- 2$ في $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

خطوة 1.1.4.2.2

اطرح $2 x$ من $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

خطوة 1.1.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

خطوة 1.1.4.4

أعِد كتابة $- 20$ بالصيغة $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

خطوة 1.1.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

خطوة 1.1.4.6

أعِد كتابة $- (x + 20)$ بالصيغة $- 1 (x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

خطوة 1.1.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x + 20 = 0$

خطوة 2.3

اطرح $20$ من كلا المتعادلين.

$x = - 20$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- 20$ .

$- 20$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x + 20}{x^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{3} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 4.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 20)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 21$ في العبارة.

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $- 21$ و $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 21$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

خطوة 6.2.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 21$ هو $- \frac{1}{9261}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 20)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 20)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 20, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 10$ في العبارة.

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $- 10$ و $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 10$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

خطوة 7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $- 1000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $10$ من $10$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

أخرِج العامل $10$ من $- 1000$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

خطوة 7.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

خطوة 7.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

خطوة 7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 10$ هو $\frac{1}{100}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 20, 0)$ .

تزايد خلال $(- 20, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $1$ و $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

خطوة 8.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

خطوة 8.2.3

اقسِم $21$ على $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

خطوة 8.2.4

اضرب $- 1$ في $21$ .

$f' (1) = - 21$

خطوة 8.2.5

الإجابة النهائية هي $- 21$ .

$- 21$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 21$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \infty)$ .

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 20, 0)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

خطوة 10