حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54} \leq 0$

خطوة 1

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ ومجموعهما $b = - 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $- 13$ من $- 13 x$ .

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $- 13$ في صورة $- 1$ زائد $- 12$

$3 x^{2} + (- 1 - 12) x + 4 = 0$

خطوة 2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} - 1 x - 12 x + 4 = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(3 x^{2} - 1 x) - 12 x + 4 = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1) = 0$

خطوة 2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 4) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x - 1) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{3}, 4$

خطوة 7

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

خطوة 7.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

خطوة 7.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

حلّل $x^{2} - 9 x + 18$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $18$ ومجموعهما $- 9$ .

$- 6, - 3$

خطوة 7.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

خطوة 7.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

خطوة 8

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 9.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 10.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 11

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 6, 3$

خطوة 12

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = \frac{1}{3}, 4$

$x = 6, 3$

خطوة 13

وحّد الحلول.

$x = \frac{1}{3}, 4, 6, 3$

خطوة 14

أوجِد نطاق $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

خطوة 14.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

خطوة 14.2.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

خطوة 14.2.1.1.3

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

خطوة 14.2.1.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

خطوة 14.2.1.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

خطوة 14.2.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.2.1

حلّل $x^{2} - 9 x + 18$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.2.1.1

$- 6, - 3$

خطوة 14.2.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

خطوة 14.2.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

خطوة 14.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 14.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.3.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 14.2.3.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 14.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.4.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 14.2.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 14.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 6, 3$

خطوة 14.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 15

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

خطوة 16

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اختبر قيمة في الفترة $x < \frac{1}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < \frac{1}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 16.1.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 4}{3 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 + 54} \leq 0$

خطوة 16.1.3

الطرف الأيسر $0.\overline{074}$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 16.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{1}{3} < x < 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{1}{3} < x < 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 16.2.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3 {(2)}^{2} - 13 \cdot 2 + 4}{3 {(2)}^{2} - 27 \cdot 2 + 54} \leq 0$

خطوة 16.2.3

الطرف الأيسر $- 0.8\overline{3}$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 16.3

اختبر قيمة في الفترة $3 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اختر قيمة من الفترة $3 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3.5$

خطوة 16.3.2

استبدِل $x$ بـ $3.5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3 {(3.5)}^{2} - 13 \cdot 3.5 + 4}{3 {(3.5)}^{2} - 27 \cdot 3.5 + 54} \leq 0$

خطوة 16.3.3

الطرف الأيسر $1.2\overline{6}$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 16.4

اختبر قيمة في الفترة $4 < x < 6$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اختر قيمة من الفترة $4 < x < 6$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 5$

خطوة 16.4.2

استبدِل $x$ بـ $5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3 {(5)}^{2} - 13 \cdot 5 + 4}{3 {(5)}^{2} - 27 \cdot 5 + 54} \leq 0$

خطوة 16.4.3

الطرف الأيسر $- 2.\overline{3}$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 16.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 6$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 6$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 8$

خطوة 16.5.2

استبدِل $x$ بـ $8$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3 {(8)}^{2} - 13 \cdot 8 + 4}{3 {(8)}^{2} - 27 \cdot 8 + 54} \leq 0$

خطوة 16.5.3

الطرف الأيسر $3.0\overline{6}$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 16.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < \frac{1}{3}$ خطأ

$\frac{1}{3} < x < 3$ صحيحة

$3 < x < 4$ خطأ

$4 < x < 6$ صحيحة

$x > 6$ خطأ

$x < \frac{1}{3}$ خطأ

$\frac{1}{3} < x < 3$ صحيحة

$3 < x < 4$ خطأ

$4 < x < 6$ صحيحة

$x > 6$ خطأ

خطوة 17

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{1}{3} \leq x < 3$ أو $4 \leq x < 6$

خطوة 18

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$[\frac{1}{3}, 3) \cup [4, 6)$

خطوة 19