حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x - x^{2}$ , $y = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = - x^{2} + x$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(- x^{2} + x)}^{2}$ بالصيغة $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ .

$V = (- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$

خطوة 2.2

وسّع $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x^{2} (- x^{2} + x) + x (- x^{2} + x)$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2} + x)$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $x^{4}$ في $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = x^{4} - x^{1 + 2} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$V = x^{4} - x^{3} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V = x^{4} - x^{3} - x \cdot x^{2} + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.7

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.7.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.7.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = x^{4} - x^{3} - x^{2 + 1} + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.7.3

أضف $2$ و $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x \cdot x$

خطوة 2.3.1.8

اضرب $x$ في $x$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x^{2}$

خطوة 2.3.2

اطرح $x^{3}$ من $- x^{3}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ و $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

خطوة 10.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

خطوة 10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

خطوة 10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{4}}{4}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1^{3}}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.3

لكتابة $\frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.4

لكتابة $\frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.5.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.5.2

اضرب $5$ في $3$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.5.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{3 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.5.4

اضرب $3$ في $5$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{3 + 5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.7

أضف $3$ و $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.9.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.11.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.13

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} + 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.14

أضف $\frac{8}{15}$ و $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.15

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

خطوة 10.2.3.16

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}))$

خطوة 10.2.3.17

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.17.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}))$

خطوة 10.2.3.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.17.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

خطوة 10.2.3.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

خطوة 10.2.3.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}))$

خطوة 10.2.3.17.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - 0))$

خطوة 10.2.3.18

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} + 0))$

خطوة 10.2.3.19

أضف $\frac{1}{4}$ و $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4}))$

خطوة 10.2.3.20

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 2}{4})$

خطوة 10.2.3.21

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.21.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 (- 1)}{4})$

خطوة 10.2.3.21.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.21.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

خطوة 10.2.3.21.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

خطوة 10.2.3.21.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 1}{2})$

خطوة 10.2.3.22

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (\frac{8}{15} - \frac{1}{2})$

خطوة 10.2.3.23

لكتابة $\frac{8}{15}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 10.2.3.24

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

خطوة 10.2.3.25

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $30$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.25.1

اضرب $\frac{8}{15}$ في $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

خطوة 10.2.3.25.2

اضرب $15$ في $2$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

خطوة 10.2.3.25.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{2 \cdot 15})$

خطوة 10.2.3.25.4

اضرب $2$ في $15$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{30})$

خطوة 10.2.3.26

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{8 \cdot 2 - 15}{30})$

خطوة 10.2.3.27

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.27.1

اضرب $8$ في $2$ .

$V = π (\frac{16 - 15}{30})$

خطوة 10.2.3.27.2

اطرح $15$ من $16$ .

$V = π (\frac{1}{30})$

خطوة 10.2.3.28

اجمع $π$ و $\frac{1}{30}$ .

$V = \frac{π}{30}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{π}{30}$

الصيغة العشرية:

$V = 0.10471975 \dots$

خطوة 12