حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 5$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \sqrt{x - 1}$

خطوة 2

أعِد كتابة ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ بالصيغة $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = x - 1$

خطوة 2.5

بسّط.

$V = x - 1$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + - x]_{1}^{5})$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}$ و $- x]_{1}^{5}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{5}$

خطوة 7.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2} - x$ في $5$ وفي $1$ .

$V = π ((\frac{5^{2}}{2} - 1 \cdot 5) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 1 \cdot 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2.3

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2.4

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{25 - 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.6.1

اضرب $- 5$ في $2$ .

$V = π (\frac{25 - 10}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2.6.2

اطرح $10$ من $25$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.2.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

خطوة 7.2.2.9

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

خطوة 7.2.2.10

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

خطوة 7.2.2.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

خطوة 7.2.2.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.12.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

خطوة 7.2.2.12.2

اطرح $2$ من $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{- 1}{2})$

خطوة 7.2.2.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.2.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

خطوة 7.2.2.15

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.2.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{15 + 1}{2})$

خطوة 7.2.2.17

أضف $15$ و $1$ .

$V = π (\frac{16}{2})$

خطوة 7.2.2.18

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.18.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2})$

خطوة 7.2.2.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.18.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

خطوة 7.2.2.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

خطوة 7.2.2.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{8}{1})$

خطوة 7.2.2.18.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$V = π \cdot 8$

خطوة 7.2.2.19

انقُل $8$ إلى يسار $π$ .

$V = 8 π$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = 8 π$

الصيغة العشرية:

$V = 25.13274122 \dots$

خطوة 9