حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x^{2} - 120) e^{x}$

خطوة 1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

خطوة 2

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 120$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 120 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$

خطوة 4.1.1.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x} = 0$

خطوة 4.1.1.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- 120 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

خطوة 4.1.1.4

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

خطوة 4.1.1.5

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 120) = 0$

خطوة 4.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

حلّل $x^{2} + 2 x - 120$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 120$ ومجموعهما $2$ .

$- 10, 12$

خطوة 4.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$e^{x} ((x - 10) (x + 12)) = 0$

خطوة 4.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$

خطوة 4.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 12 = 0$

خطوة 4.3

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 4.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 4.3.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 4.4

عيّن قيمة العبارة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عيّن قيمة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 10 = 0$

خطوة 4.4.2

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 10$

خطوة 4.5

عيّن قيمة العبارة $x + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عيّن قيمة $x + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 12 = 0$

خطوة 4.5.2

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$x = - 12$

خطوة 4.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$ صحيحة.

$x = 10, - 12$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ عند $x = 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $10$ في العبارة.

$f (10) = {(10)}^{2} e^{10} - 120 e^{10}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$f (10) = 100 e^{10} - 120 e^{10}$

خطوة 5.2.2

اطرح $120 e^{10}$ من $100 e^{10}$ .

$f (10) = - 20 e^{10}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 20 e^{10}$ .

$- 20 e^{10}$

خطوة 6

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ عند $x = - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 12$ في العبارة.

$f (- 12) = {(- 12)}^{2} e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 12$ إلى القوة $2$ .

$f (- 12) = 144 e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = 144 (\frac{1}{e^{12}}) - 120 e^{- 12}$

خطوة 6.2.1.3

اجمع $144$ و $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 e^{- 12}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 \frac{1}{e^{12}}$

خطوة 6.2.1.5

اجمع $- 120$ و $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} + \frac{- 120}{e^{12}}$

خطوة 6.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - \frac{120}{e^{12}}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 12) = \frac{144 - 120}{e^{12}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $120$ من $144$ .

$f (- 12) = \frac{24}{e^{12}}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{24}{e^{12}}$ .

$\frac{24}{e^{12}}$

خطوة 7

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ هي $y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$ .

$y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$

خطوة 8