حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 16 \sqrt{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$16 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$16 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.10

اجمع $16$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{16 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 2.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 2.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 2.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

خطوة 2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

خطوة 2.7.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

خطوة 2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 2.9

اجمع $x^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 2.10

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 2.11

اجمع $- 8$ و $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 8 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 2.12

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.13

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 2.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 4}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

خطوة 3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

خطوة 3.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

خطوة 3.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

خطوة 3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

خطوة 3.7.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

خطوة 3.9

اجمع $x^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

خطوة 3.10

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$4 \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

خطوة 3.11

اجمع $4$ و $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2}$

خطوة 3.12

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{2}$

خطوة 3.12.2

انقُل $x^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 3.13

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 3.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (x^{\frac{5}{2}})}$

خطوة 3.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 3.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$f''' (x) = \frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

خطوة 4.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 4.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

خطوة 4.2.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}]$

خطوة 4.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

خطوة 4.7.2

اطرح $2$ من $- 5$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

خطوة 4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

خطوة 4.9

اجمع $x^{- \frac{7}{2}}$ و $\frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

خطوة 4.10

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

خطوة 4.11

اجمع $- 6$ و $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$\frac{- 6 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

خطوة 4.12

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

اضرب $5$ في $- 6$ .

$\frac{- 30 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

خطوة 4.12.2

انقُل $x^{- \frac{7}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.13

أخرِج العامل $2$ من $- 30$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (x^{\frac{7}{2}})}$

خطوة 4.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 15}{x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$