حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 \arctan (x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \arctan (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.2

اجمع $\frac{1}{1 + x^{4}}$ و $5$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} (2 x)$

خطوة 1.3.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

اجمع $2$ و $\frac{5}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{1 + x^{4}} x$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{10}{1 + x^{4}} x$

خطوة 1.3.4.3

اجمع $\frac{10}{1 + x^{4}}$ و $x$ .

$\frac{10 x}{1 + x^{4}}$

خطوة 1.3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{10 x}{x^{4} + 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{10 x}{x^{4} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{4} + 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $x^{4} + 1$ في $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4.3

أضف $3$ و $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

اطرح $4 x^{4}$ من $x^{4}$ .

$10 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

اجمع $10$ و $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

اضرب $- 3$ في $10$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.2

اضرب $10$ في $1$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.3

أخرِج العامل $10$ من $- 30 x^{4} + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

أخرِج العامل $10$ من $- 30 x^{4}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.3.2

أخرِج العامل $10$ من $10$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.3.3

أخرِج العامل $10$ من $10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{4}$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.7

أعِد كتابة $- (3 x^{4} - 1)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{10 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$