حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 x}{9 x^{2} - 16}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{9 x^{2} - 16}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{9 x^{2} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{9 x^{2} - 16}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 9 x^{2} - 16$ .

$2 \frac{(9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{(9 x^{2} - 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $9 x^{2} - 16$ في $1$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

اضرب $2$ في $9$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - x (18 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3.7

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - x (18 x + 0)}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

أضف $18 x$ و $0$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - x (18 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.3.8.2

اضرب $18$ في $- 1$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - 18 x \cdot x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - 18 (x^{1} x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - 18 (x^{1} x^{1})}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - 18 x^{1 + 1}}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.7

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{9 x^{2} - 16 - 18 x^{2}}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.8

اطرح $18 x^{2}$ من $9 x^{2}$ .

$2 \frac{- 9 x^{2} - 16}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.9

اجمع $2$ و $\frac{- 9 x^{2} - 16}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{2} - 16)}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- 9 x^{2}) + 2 \cdot - 16}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.2.1

اضرب $- 9$ في $2$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 2 \cdot - 16}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.10.2.2

اضرب $2$ في $- 16$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x^{2} - 32}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} - 32] - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{({(9 x^{2} - 16)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(9 x^{2} - 16)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} - 32] - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} - 32] - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 18 x^{2} - 32$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32]) - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32]) - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 32]) - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $- 18$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x + \frac{d}{d x} [- 32]) - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 32$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x + 0) - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.7

أضف $- 36 x$ و $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} - 32) \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 16)}^{2}]}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 9 x^{2} - 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 x^{2} - 16$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} - 32) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} - 32) (2 u \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 x^{2} - 16$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} - 32) (2 (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 32) ((9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 32) ((9 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 32) ((9 x^{2} - 16) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 32) ((9 x^{2} - 16) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4.5

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 32) ((9 x^{2} - 16) (18 x + \frac{d}{d x} [- 16]))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4.6

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 32) ((9 x^{2} - 16) (18 x + 0))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

أضف $18 x$ و $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 32) ((9 x^{2} - 16) (18 x))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4.7.2

انقُل $18$ إلى يسار $9 x^{2} - 16$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} - 32) (18 \cdot (9 x^{2} - 16) x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.4.7.3

اضرب $18$ في $- 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) - 36 (- 18 x^{2} - 32) ((9 x^{2} - 16) x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) ((9 x^{2} - 16) x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(9 x^{2} - 16)}^{2} (- 36 x) + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 36 {(9 x^{2} - 16)}^{2} x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(9 x^{2} - 16)}^{2}$ بالصيغة $(9 x^{2} - 16) (9 x^{2} - 16)$ .

$\frac{- 36 ((9 x^{2} - 16) (9 x^{2} - 16)) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.3

وسّع $(9 x^{2} - 16) (9 x^{2} - 16)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 36 (9 x^{2} (9 x^{2} - 16) - 16 (9 x^{2} - 16)) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 36 (9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 16 - 16 (9 x^{2} - 16)) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 36 (9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 16 - 16 (9 x^{2}) - 16 \cdot - 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 36 (9 \cdot 9 x^{2} x^{2} + 9 x^{2} \cdot - 16 - 16 (9 x^{2}) - 16 \cdot - 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.4.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{- 36 (9 \cdot 9 (x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 16 - 16 (9 x^{2}) - 16 \cdot - 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 36 (9 \cdot 9 x^{2 + 2} + 9 x^{2} \cdot - 16 - 16 (9 x^{2}) - 16 \cdot - 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{- 36 (9 \cdot 9 x^{4} + 9 x^{2} \cdot - 16 - 16 (9 x^{2}) - 16 \cdot - 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.3

اضرب $9$ في $9$ .

$\frac{- 36 (81 x^{4} + 9 x^{2} \cdot - 16 - 16 (9 x^{2}) - 16 \cdot - 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.4

اضرب $- 16$ في $9$ .

$\frac{- 36 (81 x^{4} - 144 x^{2} - 16 (9 x^{2}) - 16 \cdot - 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.5

اضرب $9$ في $- 16$ .

$\frac{- 36 (81 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.6

اضرب $- 16$ في $- 16$ .

$\frac{- 36 (81 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} + 256) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.2

اطرح $144 x^{2}$ من $- 144 x^{2}$ .

$\frac{- 36 (81 x^{4} - 288 x^{2} + 256) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(- 36 (81 x^{4}) - 36 (- 288 x^{2}) - 36 \cdot 256) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.6.1

اضرب $81$ في $- 36$ .

$\frac{(- 2916 x^{4} - 36 (- 288 x^{2}) - 36 \cdot 256) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.6.2

اضرب $- 288$ في $- 36$ .

$\frac{(- 2916 x^{4} + 10368 x^{2} - 36 \cdot 256) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.6.3

اضرب $- 36$ في $256$ .

$\frac{(- 2916 x^{4} + 10368 x^{2} - 9216) x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2916 x^{4} x + 10368 x^{2} x - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 2916 (x \cdot x^{4}) + 10368 x^{2} x - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2916 (x^{1} x^{4}) + 10368 x^{2} x - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2916 x^{1 + 4} + 10368 x^{2} x - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{2} x - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 (x \cdot x^{2}) - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 (x^{1} x^{2}) - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{1 + 2} - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + (- 36 (- 18 x^{2}) - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.9.1

اضرب $- 18$ في $- 36$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + (648 x^{2} - 36 \cdot - 32) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.9.2

اضرب $- 36$ في $- 32$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + (648 x^{2} + 1152) (9 x^{2} x - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.10

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.10.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + (648 x^{2} + 1152) (9 (x \cdot x^{2}) - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.10.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.10.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + (648 x^{2} + 1152) (9 (x^{1} x^{2}) - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + (648 x^{2} + 1152) (9 x^{1 + 2} - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.10.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + (648 x^{2} + 1152) (9 x^{3} - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.11

وسّع $(648 x^{2} + 1152) (9 x^{3} - 16 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 648 x^{2} (9 x^{3} - 16 x) + 1152 (9 x^{3} - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 648 x^{2} (9 x^{3}) + 648 x^{2} (- 16 x) + 1152 (9 x^{3} - 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 648 x^{2} (9 x^{3}) + 648 x^{2} (- 16 x) + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 648 \cdot 9 x^{2} x^{3} + 648 x^{2} (- 16 x) + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 648 \cdot 9 (x^{3} x^{2}) + 648 x^{2} (- 16 x) + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 648 \cdot 9 x^{3 + 2} + 648 x^{2} (- 16 x) + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 648 \cdot 9 x^{5} + 648 x^{2} (- 16 x) + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.3

اضرب $648$ في $9$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} + 648 x^{2} (- 16 x) + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 16 x^{2} x + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 16 (x \cdot x^{2}) + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 16 (x^{1} x^{2}) + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 16 x^{1 + 2} + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} + 648 \cdot - 16 x^{3} + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.6

اضرب $648$ في $- 16$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} - 10368 x^{3} + 1152 (9 x^{3}) + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.7

اضرب $9$ في $1152$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} - 10368 x^{3} + 10368 x^{3} + 1152 (- 16 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.8

اضرب $- 16$ في $1152$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} - 10368 x^{3} + 10368 x^{3} - 18432 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.2

أضف $- 10368 x^{3}$ و $10368 x^{3}$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} + 0 - 18432 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.3

أضف $5832 x^{5}$ و $0$ .

$\frac{- 2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x + 5832 x^{5} - 18432 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.2

أضف $- 2916 x^{5}$ و $5832 x^{5}$ .

$\frac{2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 9216 x - 18432 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.3

اطرح $18432 x$ من $- 9216 x$ .

$\frac{2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 27648 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أخرِج العامل $108 x$ من $2916 x^{5} + 10368 x^{3} - 27648 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1

أخرِج العامل $108 x$ من $2916 x^{5}$ .

$\frac{108 x (27 x^{4}) + 10368 x^{3} - 27648 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.1.2

أخرِج العامل $108 x$ من $10368 x^{3}$ .

$\frac{108 x (27 x^{4}) + 108 x (96 x^{2}) - 27648 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.1.3

أخرِج العامل $108 x$ من $- 27648 x$ .

$\frac{108 x (27 x^{4}) + 108 x (96 x^{2}) + 108 x (- 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.1.4

أخرِج العامل $108 x$ من $108 x (27 x^{4}) + 108 x (96 x^{2})$ .

$\frac{108 x (27 x^{4} + 96 x^{2}) + 108 x (- 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.1.5

أخرِج العامل $108 x$ من $108 x (27 x^{4} + 96 x^{2}) + 108 x (- 256)$ .

$\frac{108 x (27 x^{4} + 96 x^{2} - 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{108 x (27 {(x^{2})}^{2} + 96 x^{2} - 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$\frac{108 x (27 u^{2} + 96 u - 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 27 \cdot - 256 = - 6912$ ومجموعهما $b = 96$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.4.1.1

أخرِج العامل $96$ من $96 u$ .

$\frac{108 x (27 u^{2} + 96 (u) - 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.4.1.2

أعِد كتابة $96$ في صورة $- 48$ زائد $144$

$\frac{108 x (27 u^{2} + (- 48 + 144) u - 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{108 x (27 u^{2} - 48 u + 144 u - 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{108 x ((27 u^{2} - 48 u) + 144 u - 256)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{108 x (3 u (9 u - 16) + 16 (9 u - 16))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $9 u - 16$ .

$\frac{108 x ((9 u - 16) (3 u + 16))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{108 x ((9 x^{2} - 16) (3 x^{2} + 16))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.6

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{108 x (({(3 x)}^{2} - 16) (3 x^{2} + 16))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.7

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{108 x (({(3 x)}^{2} - 4^{2}) (3 x^{2} + 16))}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.8

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3 x$ و $b = 4$ .

$\frac{108 x (3 x + 4) (3 x - 4) (3 x^{2} + 16)}{{(9 x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{108 x (3 x + 4) (3 x - 4) (3 x^{2} + 16)}{{({(3 x)}^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.5.5.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{108 x (3 x + 4) (3 x - 4) (3 x^{2} + 16)}{{({(3 x)}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

خطوة 2.5.5.3

$\frac{108 x (3 x + 4) (3 x - 4) (3 x^{2} + 16)}{{((3 x + 4) (3 x - 4))}^{4}}$

خطوة 2.5.5.4

طبّق قاعدة الضرب على $(3 x + 4) (3 x - 4)$ .

$\frac{108 x (3 x + 4) (3 x - 4) (3 x^{2} + 16)}{{(3 x + 4)}^{4} {(3 x - 4)}^{4}}$

خطوة 2.5.6

احذِف العامل المشترك لـ $3 x + 4$ و ${(3 x + 4)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

أخرِج العامل $3 x + 4$ من $108 x (3 x + 4) (3 x - 4) (3 x^{2} + 16)$ .

$\frac{(3 x + 4) ((108 x (3 x - 4)) (3 x^{2} + 16))}{{(3 x + 4)}^{4} {(3 x - 4)}^{4}}$

خطوة 2.5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.1

أخرِج العامل $3 x + 4$ من ${(3 x + 4)}^{4} {(3 x - 4)}^{4}$ .

$\frac{(3 x + 4) ((108 x (3 x - 4)) (3 x^{2} + 16))}{(3 x + 4) ({(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{4})}$

خطوة 2.5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 x + 4) ((108 x (3 x - 4)) (3 x^{2} + 16))}{(3 x + 4) ({(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{4})}$

خطوة 2.5.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(108 x (3 x - 4)) (3 x^{2} + 16)}{{(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{4}}$

خطوة 2.5.7

احذِف العامل المشترك لـ $3 x - 4$ و ${(3 x - 4)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

أخرِج العامل $3 x - 4$ من $(108 x (3 x - 4)) (3 x^{2} + 16)$ .

$\frac{(3 x - 4) ((108 x) (3 x^{2} + 16))}{{(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{4}}$

خطوة 2.5.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.2.1

أخرِج العامل $3 x - 4$ من ${(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{4}$ .

$\frac{(3 x - 4) ((108 x) (3 x^{2} + 16))}{(3 x - 4) ({(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{3})}$

خطوة 2.5.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 x - 4) ((108 x) (3 x^{2} + 16))}{(3 x - 4) ({(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{3})}$

خطوة 2.5.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(108 x) (3 x^{2} + 16)}{{(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{108 x (3 x^{2} + 16)}{{(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{3}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{108 x (3 x^{2} + 16)}{{(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{108 x (3 x^{2} + 16)}{{(3 x + 4)}^{3} {(3 x - 4)}^{3}}$