حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cos (x) \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.4

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.5

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.7

أضف $1$ و $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.8

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

خطوة 1.9

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

خطوة 1.10

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

خطوة 1.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

خطوة 1.12

أضف $1$ و $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x))$

خطوة 1.13.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x)$ .

$4 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$4 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2.5

اضرب $- 2$ في $4$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x))$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 2.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب عوامل $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 8 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.2

اطرح $8 \cos (x) \sin (x)$ من $- 8 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (x) \sin (x)$