حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{a x + b}{a x - b}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ هو $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ حيث $f (b) = a x + b$ و $g (b) = a x - b$ .

$\frac{(a x - b) \frac{d}{d b} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x + b$ بالنسبة إلى $b$ هو $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a x - b) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $a x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $b$ ، فإن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $b$ هو $0$ .

$\frac{(a x - b) (0 + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ هو $n b^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) (0 + 1) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 2.4

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x - b$ بالنسبة إلى $b$ هو $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [- b]$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $a x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $b$ ، فإن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $b$ هو $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (0 + \frac{d}{d b} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d b} [- b]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $b$ ، إذن مشتق $- b$ بالنسبة إلى $b$ يساوي $- \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (0 - \frac{d}{d b} [b])}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ هو $n b^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (0 - 1 \cdot 1)}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (0 - 1)}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 4

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{a x \cdot 1 - b \cdot 1 - (a x + b) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{a x \cdot 1 - b \cdot 1 + (- (a x) - b) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{a x \cdot 1 - b \cdot 1 - (a x) \cdot - 1 - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

اضرب $a$ في $1$ .

$\frac{a x - b \cdot 1 - (a x) \cdot - 1 - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{a x - b - (a x) \cdot - 1 - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3

اضرب $- a x \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{a x - b + 1 a x - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3.2

اضرب $a$ في $1$ .

$\frac{a x - b + a x - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $- b \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{a x - b + a x + 1 b}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4.2

اضرب $b$ في $1$ .

$\frac{a x - b + a x + b}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $a x - b + a x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أضف $- b$ و $b$ .

$\frac{a x + a x + 0}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2

أضف $a x + a x$ و $0$ .

$\frac{a x + a x}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.4.3

أضف $a x$ و $a x$ .

$\frac{2 a x}{{(a x - b)}^{2}}$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 a x}{{(- b + a x)}^{2}}$