حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (\frac{x}{2})$

خطوة 1

اكتب $\sin (\frac{x}{2})$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 2.1.1.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 2.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

خطوة 2.1.1.2.4

اضرب $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 2.1.2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 2.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 2.1.2.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.2.3.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

خطوة 2.1.2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

خطوة 2.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

خطوة 2.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

خطوة 2.2.3.3

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

خطوة 2.2.3.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{x}{2} = π - 0$

خطوة 2.2.3.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

خطوة 2.2.3.5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

خطوة 2.2.3.5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (π - 0)$

خطوة 2.2.3.5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.2.2.1

اطرح $0$ من $π$ .

$x = 2 π$

خطوة 2.2.3.6

أوجِد فترة $\sin (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.2.3.6.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.2.3.6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 2.2.3.6.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 2.2.3.7

فترة دالة $\sin (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.2.4

وحّد الإجابات.

$x = 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

خطوة 5.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

خطوة 5.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

خطوة 5.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

خطوة 5.2.1.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

خطوة 5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

خطوة 5.2.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$f'' (0) = - 0$

خطوة 5.2.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = 0$

خطوة 5.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6