حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

خطوة 1

اكتب $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x)$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $2$ في $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 48 x = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $12 x$ من $- 48 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 48 x = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $12 x$ من $48 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 12 x (4) = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4) = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

خطوة 3.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

خطوة 3.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$12 x {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 3.5.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 x {(x - 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 2$ .

$0, 2$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $12$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 \cdot 1 + 48 (- 1)$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 48$ في $1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 + 48 (- 1)$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $48$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 - 48$

خطوة 6.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $48$ من $- 12$ .

$f' (- 1) = - 60 - 48$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $48$ من $- 60$ .

$f' (- 1) = - 108$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 108$ .

$- 108$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- 108$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $12$ في $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

خطوة 7.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 12 - 48 \cdot 1 + 48 (1)$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 48$ في $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48 (1)$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $48$ في $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $48$ من $12$ .

$f' (1) = - 36 + 48$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 36$ و $48$ .

$f' (1) = 12$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $12$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 2)$ .

تزايد خلال $(0, 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 12 {(3)}^{3} - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f' (3) = 12 \cdot 27 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $12$ في $27$ .

$f' (3) = 324 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = 324 - 48 \cdot 9 + 48 (3)$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 48$ في $9$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 48 (3)$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $48$ في $3$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 144$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $432$ من $324$ .

$f' (3) = - 108 + 144$

خطوة 8.2.2.2

أضف $- 108$ و $144$ .

$f' (3) = 36$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $36$ .

$36$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 3$ هو $36$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, 2), (2, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0)$

خطوة 10