حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 3$ .

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

خطوة 1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

خطوة 1.5.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

خطوة 1.5.3

بسّط $- 8 \ln (2)$ بنقل $8$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

خطوة 1.5.4

ارفع $2$ إلى القوة $8$ .

$- \ln (256) + 2 (3)$

خطوة 1.5.5

اضرب $2$ في $3$ .

$- \ln (256) + 6$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \ln (256) + 6$ ونقطة مُعطاة $(3, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3

وسّع $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1.1

اضرب $- \ln (256) \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1.1.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4.1.1.2

بسّط $3 \ln (256)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4.1.2

ارفع $256$ إلى القوة $3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4.1.3

اضرب $6$ في $- 3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

خطوة 2.3.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ .

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

خطوة 2.3.3

اطرح $18$ من $1$ .

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ .

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

خطوة 2.3.5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اطرح $6 x$ من كلا المتعادلين.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

خطوة 2.3.5.2

أضف $17$ إلى كلا المتعادلين.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

خطوة 2.3.6

اقسِم كل حد في $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اقسِم كل حد في $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (x \ln (256))$ بالصيغة $- (x \ln (256))$ .

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.3.1.4

اقسِم $\ln (16777216)$ على $1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.3.1.5

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 6 x}{- 1}$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 \cdot (- 6 x)$ بالصيغة $- (- 6 x)$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.3.1.7

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

خطوة 2.3.6.3.1.8

اقسِم $17$ على $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

خطوة 2.3.7

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

انقُل $\ln (16777216)$ .

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

خطوة 2.3.7.2

أخرِج العامل $x$ من $- x \ln (256)$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

خطوة 2.3.7.3

أخرِج العامل $x$ من $6 x$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

خطوة 2.3.7.4

أخرِج العامل $x$ من $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ .

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

خطوة 2.3.7.5

أعِد ترتيب $x$ و $- 1 \ln (256) + 6$ .

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

خطوة 3