حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}} d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{3}} d x$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3} d x$

خطوة 6

وسّع $(x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \int x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.4

اطرح $3$ من $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{1 - 3} - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.8

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.9

أعِد ترتيب $1$ و $- 4 x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} + 1 - 1 x^{- 3} d x$

خطوة 6.10

انقُل $1$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} + 1 d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

خطوة 8

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 3} d x + \int d x)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int d x)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int d x)$

خطوة 12.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int d x)$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + x + C)$

خطوة 14

بسّط.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$