حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

خطوة 1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

خطوة 1.3

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.6

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.7

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

خطوة 3.8

مشتق $\log_{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

خطوة 5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{x}{x + 1}$ و $\ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

خطوة 6

انقُل الحد $\ln (2)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

خطوة 7

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

خطوة 8.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

خطوة 8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

خطوة 8.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

خطوة 8.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

خطوة 8.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 8.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضف $1$ و $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1}$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (2) \frac{1}{1}$

خطوة 10.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (2) \cdot 1$

خطوة 10.3

اضرب $\ln (2)$ في $1$ .

$\ln (2)$