حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{3 x} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{3 x} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.7

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.8

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10.2

اضرب $3 e^{3 x} + 1$ في $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{1}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} \cdot 1$

خطوة 5

اضرب $\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$

خطوة 6

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

خطوة 6.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

خطوة 6.1.2.2

بما أن الدالة $e^{3 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $3$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $3$ المحذوف.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

خطوة 6.1.2.2.2

بما أن الأُس $3 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{3 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

خطوة 6.1.2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

خطوة 6.1.2.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

خطوة 6.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 6.1.3.2

بما أن الأُس $3 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{3 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 6.1.3.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

خطوة 6.1.3.4

ما لا نهاية زائد ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 6.1.3.5

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 6.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 e^{3 x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.3.7

اضرب $3$ في $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.5

أضف $9 e^{3 x}$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

خطوة 6.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{3 x} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.3.7.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.3.7.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.3.7.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.3.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.3.7.4

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.3.7.5

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

خطوة 7

انقُل الحد $9$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

خطوة 8

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$9 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

خطوة 8.1.2

بما أن الأُس $3 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{3 x}$ تقترب من $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

خطوة 8.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 8.1.3.2

بما أن الدالة $e^{3 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $3$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $3$ المحذوف.

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 8.1.3.2.2

بما أن الأُس $3 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{3 x}$ تقترب من $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 8.1.3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + 1}$

خطوة 8.1.3.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$9 \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 8.1.3.5

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$9 \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 8.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$9 \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

خطوة 8.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 e^{3 x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8.5

اضرب $3$ في $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.8.7

اضرب $3$ في $3$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

خطوة 8.3.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + 0}$

خطوة 8.3.10

أضف $9 e^{3 x}$ و $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

خطوة 8.4

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{9 e^{3 x}}$

خطوة 8.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

خطوة 8.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

خطوة 8.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

خطوة 8.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

خطوة 8.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$

خطوة 9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة حد $\frac{1}{3}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$9 (\frac{1}{3})$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$3 (3) \frac{1}{3}$

خطوة 9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 3 \frac{1}{3}$

خطوة 9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3$