حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 3.1.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 3.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

خطوة 3.1.2.4

اضرب $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ لأن المشتق متصل على $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ وقابلة للاشتقاق على $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

$f (x)$ متصلة على $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ وقابلة للاشتقاق على $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 7.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

خطوة 8.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

بسّط $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1.1

اضرب $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

خطوة 8.2.2.1.1.2

اجمع.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.3

بسّط بالحذف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

خطوة 8.2.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

خطوة 8.2.2.1.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

خطوة 8.2.2.1.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

خطوة 8.2.2.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.4.1

اطرح $\sqrt{2}$ من $\sqrt{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

خطوة 8.2.2.1.4.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

خطوة 8.2.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

خطوة 8.2.2.1.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

خطوة 8.2.2.1.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

خطوة 8.2.2.1.4.4

اقسِم $0$ على $π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

خطوة 8.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

خطوة 8.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 8.5

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x = π$

خطوة 8.6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 8.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 8.7.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 8.7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 8.7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.2.1

بسّط $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.2.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 8.7.2.2.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 8.7.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 8.7.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 8.7.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

خطوة 8.7.2.2.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$x = 4 π - π$

خطوة 8.7.2.2.1.6

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = 3 π$

خطوة 8.8

أوجِد فترة $\cos (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.8.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 8.8.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.8.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 8.8.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 8.9

فترة دالة $\cos (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.10

وحّد الإجابات.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

يوجد خط مماس عند $x = π + 2 π n$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = \frac{π}{2}$ و $b = \frac{3 π}{2}$ .

يوجد خط مماس عند $x = π + 2 π n$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = \frac{π}{2}$ و $b = \frac{3 π}{2}$

خطوة 10