حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x}) d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int e^{x} + e^{- x} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int e^{x} d x + \int e^{- x} d x)$

خطوة 6

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int e^{- x} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int - e^{u} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - \int e^{u} d u)$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - (e^{u} + C))$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{u}) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$