حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(8 x^{3}) e^{x^{4}}$

خطوة 1

اكتب $(8 x^{3}) e^{x^{4}}$ في صورة دالة.

$f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int (8 x^{3}) e^{x^{4}} d x$

خطوة 4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int (x^{3}) e^{x^{4}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$8 \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{1}$ .

$8 \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{u_{1}}{2}$ و $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\frac{8}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 9.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1}$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 10

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 13

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$2 (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 14

بسّط.

$2 e^{u_{2}} + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{2}$ .

$2 e^{{u_{1}}^{2}} + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$