حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

خطوة 1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

خطوة 3.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

خطوة 3.4

اضرب $6$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

خطوة 3.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

خطوة 3.6.3

اضرب $15$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

خطوة 3.7

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + 0}$

خطوة 3.8

أضف $15$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15}$

خطوة 4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (2)}{15}$

خطوة 4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{5}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $\frac{2}{5}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2}{5}$