حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{j = 1}^{4} {(2 i j + 8 j)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(2 i j + 8 j)}^{2}$ بالصيغة $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ .

$(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$

خطوة 1.2

وسّع $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 i j (2 i j + 8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 i \cdot 2 i j \cdot j + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $j$ في $j$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

انقُل $j$ .

$2 i \cdot 2 i (j \cdot j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.2.2

اضرب $j$ في $j$ .

$2 i \cdot 2 i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 i i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $4 i i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.4.1

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$4 (i^{1} i) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.4.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$4 (i^{1} i^{1}) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 i^{1 + 1} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j \cdot j + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.6

اضرب $j$ في $j$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.6.1

انقُل $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 (j \cdot j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.6.2

اضرب $j$ في $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.7

اضرب $8$ في $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j \cdot j + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.9

اضرب $j$ في $j$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.9.1

انقُل $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i (j \cdot j) + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.9.2

اضرب $j$ في $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j^{2} + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.10

اضرب $8$ في $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (8 j)$

خطوة 1.3.1.11

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j \cdot j$

خطوة 1.3.1.12

اضرب $j$ في $j$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.12.1

انقُل $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 (j \cdot j)$

خطوة 1.3.1.12.2

اضرب $j$ في $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j^{2}$

خطوة 1.3.1.13

اضرب $8$ في $8$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 64 j^{2}$

خطوة 1.3.2

أضف $16 i j^{2}$ و $16 i j^{2}$ .

$4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب العوامل في $4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$ .

$4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{j = 1}^{4} 4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

خطوة 2

وسّع السلسلة لكل قيمة من قيم $j$ .

$4 \cdot 1^{2} i^{2} + 32 \cdot 1^{2} i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 2^{2} i^{2} + 32 \cdot 2^{2} i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3^{2} i^{2} + 32 \cdot 3^{2} i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 4^{2} i^{2} + 32 \cdot 4^{2} i + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3

عوّض بالقيم مجددًا وبسّط $4 \cdot (1^{2} i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \cdot (1 i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.2

اضرب $i^{2}$ في $1$ .

$4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$4 \cdot - 1 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 4 + 32 \cdot (1 i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.6

اضرب $i$ في $1$ .

$- 4 + 32 \cdot i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 4 + 32 i + 64 \cdot 1 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.8

اضرب $64$ في $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.9

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.10

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 \cdot - 1) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.11

اضرب $4 (4 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.11.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot - 4 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.11.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.12

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (4 i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.13

اضرب $4$ في $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.14

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 4 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.15

اضرب $64$ في $4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.16

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.17

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 \cdot - 1) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.18

اضرب $4 (9 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.18.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot - 9 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.18.2

اضرب $4$ في $- 9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.19

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (9 i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.20

اضرب $9$ في $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.21

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 9 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.22

اضرب $64$ في $9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.23

اضرب $4$ في $4^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.23.1

انقُل $4^{2}$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.23.2

اضرب $4^{2}$ في $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.23.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4^{1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.23.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2 + 1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.23.3

أضف $2$ و $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{3} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.24

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.25

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot - 1 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.26

اضرب $64$ في $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.27

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (16 i) + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.28

اضرب $16$ في $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 4^{2}$

خطوة 3.1.29

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 16$

خطوة 3.1.30

اضرب $64$ في $16$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

خطوة 3.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $- 4$ و $64$ .

$60 + 32 i - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

خطوة 3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $16$ من $60$ .

$44 + 32 i + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

خطوة 3.2.2.2

أضف $44$ و $256$ .

$300 + 32 i + 128 i - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

خطوة 3.2.2.3

اطرح $36$ من $300$ .

$264 + 32 i + 128 i + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

خطوة 3.2.2.4

أضف $264$ و $576$ .

$840 + 32 i + 128 i + 288 i - 64 + 512 i + 1024$

خطوة 3.2.2.5

اطرح $64$ من $840$ .

$776 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i + 1024$

خطوة 3.2.2.6

أضف $776$ و $1024$ .

$1800 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i$

خطوة 3.2.3

أضف $32 i$ و $128 i$ .

$1800 + 160 i + 288 i + 512 i$

خطوة 3.2.4

أضف $160 i$ و $288 i$ .

$1800 + 448 i + 512 i$

خطوة 3.2.5

أضف $448 i$ و $512 i$ .

$1800 + 960 i$