حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 e^{- x^{4}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{- x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{4}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{4}$ .

$3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

خطوة 1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

اضرب $4$ في $- 3$ .

$- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

خطوة 1.3.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{- x^{4}}$ .

$- 12 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}] + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{4}$ .

$- 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{4}$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.4.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.5

اضرب $x^{3}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

انقُل $x^{3}$ .

$- 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.5.3

أضف $3$ و $3$ .

$- 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.6

انقُل $- 4$ إلى يسار $e^{- x^{4}}$ .

$- 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

خطوة 2.8.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

خطوة 2.8.2.2

اضرب $3$ في $- 12$ .

$48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

خطوة 2.8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

خطوة 2.8.4

أعِد ترتيب العوامل في $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$ .

$48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$