حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[0, π]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 3.1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.1.3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 3.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 3.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(0, π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(0, π)$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(0, π)$ لأن المشتق متصل على $(0, π)$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[0, π]$ وقابلة للاشتقاق على $(0, π)$ .

$f (x)$ متصلة على $[0, π]$ وقابلة للاشتقاق على $(0, π)$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[0, π]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

خطوة 7.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 7.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

خطوة 8.3.1.1.2

أضف $0$ و $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

خطوة 8.3.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

خطوة 8.3.1.2.2

أضف $π$ و $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

خطوة 8.3.1.3

اقسِم $0$ على $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 8.4

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

استبدِل $- 4 \sin^{2} (x)$ بـ $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 8.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 8.4.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 8.4.2.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 8.4.3

اطرح $4$ من $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 8.4.4

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

خطوة 8.4.5

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

خطوة 8.4.6

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4 u^{2} + 2 u - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

خطوة 8.4.6.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

خطوة 8.4.6.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

خطوة 8.4.6.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 u^{2}) + 2 u$ .

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

خطوة 8.4.6.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

خطوة 8.4.6.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.6.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.6.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.6.2.1.1.1

اضرب في $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

خطوة 8.4.6.2.1.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 1$ زائد $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

خطوة 8.4.6.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

خطوة 8.4.6.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.6.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

خطوة 8.4.6.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

خطوة 8.4.6.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

خطوة 8.4.6.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

خطوة 8.4.7

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 8.4.8

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.8.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 8.4.8.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.8.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 8.4.8.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.8.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 8.4.8.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.8.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.8.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 8.4.8.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 8.4.9

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.9.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 8.4.9.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 8.4.10

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 8.4.11

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 8.4.12

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

خطوة 8.4.13

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.13.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 8.4.13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.13.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 8.4.13.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 8.4.13.4

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.13.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 8.4.13.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.13.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 8.4.13.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 8.4.13.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.13.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 8.4.13.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 8.4.13.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.4.13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.4.13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.4.13.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 8.4.13.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.4.14

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.14.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 1)$

خطوة 8.4.14.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.14.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$x = π$

خطوة 8.4.14.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 8.4.14.4

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 8.4.14.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.14.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.4.14.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.4.14.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.4.14.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 8.4.14.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.4.15

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.4.16

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

يوجد خط مماس عند $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = π$ .

يوجد خط مماس عند $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = π$

خطوة 10