حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} - \frac{1}{x} + 2$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - \frac{1}{x} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 x^{3} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.6

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$4 x^{3} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.7

اضرب $\frac{1}{x}$ في $0$ .

$4 x^{3} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.8

أضف $x^{- 2}$ و $0$ .

$4 x^{3} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} + x^{- 2} + 0$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $4 x^{3} + \frac{1}{x^{2}}$ و $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} + \frac{1}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$12 x^{2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$12 x^{2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

خطوة 2.3.4

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$12 x^{2} - x^{- 4} (2 x)$

خطوة 2.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$12 x^{2} - 2 x^{- 4} x$

خطوة 2.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$12 x^{2} - 2 (x^{1} x^{- 4})$

خطوة 2.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 x^{2} - 2 x^{1 - 4}$

خطوة 2.3.8

اطرح $4$ من $1$ .

$12 x^{2} - 2 x^{- 3}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{2} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$12 x^{2} + \frac{- 2}{x^{3}}$

خطوة 2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 12 x^{2} - \frac{2}{x^{3}}$