حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{x} \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

خطوة 2.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $\cos (x) e^{x}$ و $e^{x} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $e^{x}$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

خطوة 2.4.1.2

أضف $e^{x} \cos (x)$ و $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

خطوة 2.4.3

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

خطوة 2.4.4

أضف $- e^{x} \sin (x)$ و $e^{x} \sin (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x) + 0$

خطوة 2.4.5

أضف $2 e^{x} \cos (x)$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{x} \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

خطوة 3.2

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

خطوة 3.5.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

خطوة 3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

خطوة 4

المشتق الثالث لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$