حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.3.3

اضرب ${(x + 4)}^{2}$ في $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.5.2.2

أخرِج العامل $x + 4$ من $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.5.2.3

أخرِج العامل $x + 4$ من $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.10.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.10.3

اطرح $2 x$ من $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.10.4

اجمع $4$ و $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.2.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.3.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.5

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.7

أعِد كتابة $- (x - 4)$ بالصيغة $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2.11.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 3.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.3.5.2

اضرب ${(x + 4)}^{3}$ في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من ${(x + 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

خطوة 3.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل ${(x + 4)}^{2}$ من ${(x + 4)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.10.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.10.3

اجمع $- 4$ و $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.10.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 x + 4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.3.1.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.3.1.3

اضرب $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1.3.1

اضرب $- 3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.3.1.3.2

اضرب $4$ في $12$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.3.2

اطرح $12 x$ من $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 16 + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.3.3

أضف $16$ و $48$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.4

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x + 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.1

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.4.2

أخرِج العامل $8$ من $64$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 8 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.4.3

أخرِج العامل $8$ من $8 (- x) + 8 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.6

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.8

أعِد كتابة $- (x - 8)$ بالصيغة $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 3.11.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

خطوة 3.11.11

اضرب $\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

خطوة 5.1.2

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 5.1.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.3.3

اضرب ${(x + 4)}^{2}$ في $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.5.2

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.2.1

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.5.2.2

أخرِج العامل $x + 4$ من $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.5.2.3

أخرِج العامل $x + 4$ من $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 5.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.10.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.10.3

اطرح $2 x$ من $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.10.4

اجمع $4$ و $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.11.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.2.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.11.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.3.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.5

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.7

أعِد كتابة $- (x - 4)$ بالصيغة $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.1.11.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 (x - 4) = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $4 (x - 4) = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اقسِم كل حد في $4 (x - 4) = 0$ على $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 6.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 6.3.1.2.1.2

اقسِم $x - 4$ على $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

خطوة 6.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 6.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 4)}^{3} = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 7.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 4$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 4$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{8 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اطرح $8$ من $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

خطوة 10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أضف $4$ و $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8^{4}}$

خطوة 10.2.2

ارفع $8$ إلى القوة $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{4096}$

خطوة 10.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $8$ في $- 4$ .

$\frac{- 32}{4096}$

خطوة 10.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 32$ و $4096$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

أخرِج العامل $32$ من $- 32$ .

$\frac{32 (- 1)}{4096}$

خطوة 10.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

أخرِج العامل $32$ من $4096$ .

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

خطوة 10.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

خطوة 10.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{128}$

خطوة 10.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{128}$

خطوة 11

$x = 4$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 4$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = \frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $4$ في $4$ .

$f (4) = \frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

خطوة 12.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

أضف $4$ و $4$ .

$f (4) = \frac{16}{8^{2}}$

خطوة 12.2.2.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$f (4) = \frac{16}{64}$

خطوة 12.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$f (4) = \frac{16 (1)}{64}$

خطوة 12.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.2.1

أخرِج العامل $16$ من $64$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

خطوة 12.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

خطوة 12.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (4) = \frac{1}{4}$

خطوة 12.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

خطوة 13

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{4})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 14