حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط $r^{2} \cos (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

خطوة 1.1.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

خطوة 1.1.2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

خطوة 1.1.2.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

خطوة 1.1.3

أعِد كتابة $- 1 r^{2}$ بالصيغة $- r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

خطوة 2

بما أن $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ، استبدِل $\cos (θ)$ بـ $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

خطوة 3

بما أن $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ، استبدِل $r^{2}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ و $r$ بـ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4

اكتب بالصيغة القياسية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.2

اضرب $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.3.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.2

ارفع $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.3

ارفع $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ بالصيغة $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ في صورة ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.3.6.5

بسّط.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ بالصيغة $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ في صورة ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.5.5

بسّط.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2} + y^{2}$ و ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + y^{2}$ من $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.6.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + y^{2}$ من ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.7

اضرب $2 x^{2} + 2 y^{2}$ في $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.8

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.8.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.8.2

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.8.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.9.2

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

خطوة 4.1.1.1.10

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

خطوة 4.1.1.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

خطوة 4.1.2

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

خطوة 4.1.3

اقسِم كل حد في $- y^{2} = 1 - x^{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اقسِم كل حد في $- y^{2} = 1 - x^{2}$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

خطوة 4.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

خطوة 4.1.3.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

خطوة 4.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

خطوة 4.1.3.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

خطوة 4.1.3.3.1.3

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

خطوة 4.1.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

خطوة 4.1.5

بسّط $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

خطوة 4.1.5.1.2

أعِد ترتيب $- 1^{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 4.1.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 4.1.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 4.1.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 4.1.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 4.2

لكتابة متعدد الحدود بالصيغة القياسية، بسّط ثم رتب الحدود تنازليًا.

$y = a x^{2} + b x + c$

خطوة 4.3

الصيغة القياسية هي $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5