حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \ln (x) - x$

خطوة 1

اكتب $x \ln (x) - x$ في صورة دالة.

$f (x) = x \ln (x) - x$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x \ln (x) - x d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x \ln (x) d x + \int - x d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

خطوة 6.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x) + \int - x d x$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x) + \int - x d x$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x) + \int - x d x$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x) + \int - x d x$

خطوة 8.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

خطوة 8.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

خطوة 8.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x) + \int - x d x$

خطوة 8.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int - x d x$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x + \int - x d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

خطوة 12.2

بسّط.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

لكتابة $- \frac{x^{2}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 12.3.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

اضرب $\frac{x^{2}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 12.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + C$

خطوة 12.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - x^{2} \cdot 2}{4} + C$

خطوة 12.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - 2 x^{2}}{4} + C$

خطوة 12.3.5

اطرح $2 x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{4} + C$

خطوة 12.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x \ln (x) - x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$