حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

خطوة 5.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

خطوة 5.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

خطوة 5.2.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

خطوة 5.2.2

انقُل $x^{\frac{1}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} \int x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

خطوة 5.2.3

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $x^{- \frac{1}{3}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

خطوة 5.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

خطوة 5.2.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

خطوة 5.2.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

خطوة 5.2.3.5

أضف $- 1$ و $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

خطوة 6

وسّع $x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $x^{\frac{2}{3}}$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب $x^{\frac{2}{3}}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

خطوة 6.4

اضرب $x^{\frac{2}{3}}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

خطوة 6.5

أخرِج السالب.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

خطوة 6.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

خطوة 6.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

خطوة 6.8

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

خطوة 6.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

خطوة 6.10

أضف $2$ و $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{\frac{5}{3}} d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{5}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C))$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$