حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - 2 x$ .

$2 (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x^{3} + 2 (- 2 x)) (3 x^{2} - 2)$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$

خطوة 1.3.3

وسّع $(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} (3 x^{2} - 2) - 4 x (3 x^{2} - 2)$

خطوة 1.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2} - 2)$

خطوة 1.3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \cdot 3 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.2

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \cdot 3 x^{2 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.2.3

أضف $2$ و $3$ .

$2 \cdot 3 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.6

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2 + 1} - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.7

اضرب $- 4$ في $3$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

خطوة 1.3.4.1.8

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x$

خطوة 1.3.4.2

اطرح $12 x^{3}$ من $- 4 x^{3}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.2.3

اضرب $5$ في $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$30 x^{4} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 16$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $8$ في $1$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $30 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.2.3

اضرب $4$ في $30$ .

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 48 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$120 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $- 48$ .

$120 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$120 x^{3} - 96 x + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $120 x^{3} - 96 x$ و $0$ .

$f''' (x) = 120 x^{3} - 96 x$