حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.7

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

خطوة 1.8

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

خطوة 1.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

خطوة 1.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

خطوة 1.11

أضف $1$ و $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 1.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

أعِد ترتيب $- \sin^{2} (x)$ و $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 1.12.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \cos (x)$ و $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 1.12.3

وسّع $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 1.12.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 1.12.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.12.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.4.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $\cos (x) (- \sin (x))$ و $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.12.4.2

أضف $- \cos (x) \sin (x)$ و $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.12.4.3

أضف $\cos (x) \cos (x)$ و $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.12.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.5.1

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.5.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.12.5.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.12.5.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.12.5.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.12.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

خطوة 1.12.5.3

اضرب $- \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.5.3.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

خطوة 1.12.5.3.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

خطوة 1.12.5.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

خطوة 1.12.5.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 1.12.6

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$f' (x) = \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 2.2.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$