حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $12$ .

$9 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $16$ في $1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $9 x^{2} + 24 x + 16$ و $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $9 x^{2} + 24 x + 16$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$

خطوة 2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

${(3 x)}^{2} + 24 x + 16 = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

${(3 x)}^{2} + 24 x + 4^{2} = 0$

خطوة 2.2.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$24 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 4$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

${(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 4 + 4^{2} = 0$

خطوة 2.2.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = 3 x$ و $b = 4$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة $3 x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 4 = 0$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 4$

خطوة 2.4.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 4$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

خطوة 2.4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

خطوة 2.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{4}{3}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{4}{3}$ .

$3 {(- \frac{4}{3})}^{3} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{4}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{4}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$3 (- \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$3 (- \frac{64}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$3 (- \frac{64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{64}{27}$ إلى بسط الكسر.

$3 (\frac{- 64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$3 \frac{- 64}{3 (9)} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{- 64}{3 \cdot 9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (1 \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.9

اضرب $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.10

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{16}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.11

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (\frac{16}{9}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.12

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.12.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$- \frac{64}{9} + 3 (4) \frac{16}{9} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.12.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.12.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.12.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{64}{9} + 4 (\frac{16}{3}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.13

اجمع $4$ و $\frac{16}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{4 \cdot 16}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.14

اضرب $4$ في $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.15

اضرب $16 (- \frac{4}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.15.1

اضرب $- 1$ في $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - 16 (\frac{4}{3}) - 5$

خطوة 4.1.2.1.15.2

اجمع $- 16$ و $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 16 \cdot 4}{3} - 5$

خطوة 4.1.2.1.15.3

اضرب $- 16$ في $4$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 64}{3} - 5$

خطوة 4.1.2.1.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - \frac{64}{3} - 5$

خطوة 4.1.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{64 - 64}{3}$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $64$ من $64$ .

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

خطوة 4.1.2.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اكتب $- 5$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- 5}{1} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $\frac{- 5}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

خطوة 4.1.2.3.3

اضرب $\frac{- 5}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

خطوة 4.1.2.3.4

اضرب $\frac{0}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.1.2.3.5

اضرب $\frac{0}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

خطوة 4.1.2.3.6

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{9}$

خطوة 4.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 5 \cdot 9 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

خطوة 4.1.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

اضرب $- 5$ في $9$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

خطوة 4.1.2.5.2

اضرب $0$ في $3$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0}{9}$

خطوة 4.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اطرح $64$ من $- 45$ .

$\frac{- 109 + 0}{9}$

خطوة 4.1.2.6.2

أضف $- 109$ و $0$ .

$\frac{- 109}{9}$

خطوة 4.1.2.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{109}{9}$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{109}{9})$

خطوة 5