حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 x^{2}}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

خطوة 1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد ترتيب $x$ و $- x^{3}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{3} + x}$

خطوة 1.3.2

النهاية عند اللانهاية لمتعدد حدود معامله الرئيسي سالب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.3.3

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{- \infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

خطوة 3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - (3 x^{2})}$

خطوة 3.7.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - 3 x^{2}}$

خطوة 3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{- 3 x^{2} + 1}$

خطوة 4

انقُل الحد $14$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

خطوة 5

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 6.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 6.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 6.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 6.2.2

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 6.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$14 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$14 \frac{0}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$14 \frac{0}{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$14 \frac{0}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$14 \frac{0}{- 3 + 0}$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $- 3 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{- 3 + 0}$

خطوة 10.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot - 1 + 0}$

خطوة 10.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0}$

خطوة 10.1.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

خطوة 10.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

خطوة 10.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$14 \frac{0}{- 1 + 0}$

خطوة 10.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$14 (\frac{0}{- 1})$

خطوة 10.3

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$14 \cdot 0$

خطوة 10.4

اضرب $14$ في $0$ .

$0$