حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.4.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.4.5.2

اضرب ${(x - 2)}^{2}$ في $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.1

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2} x$ من $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.1.1

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2} x$ من $2 {(x - 2)}^{3} x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.5.1.1.2

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2} x$ من $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.5.1.1.3

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2} x$ من ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.5.1.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.5.1.4

اطرح $3 x$ من $2 x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.5.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ و ${(x - 2)}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2}$ من ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

خطوة 2.1.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.2.1

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2}$ من ${(x - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.6

أعِد كتابة $- (x + 4)$ بالصيغة $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x (x + 4) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 3.3.3.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 4$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, - 4$ .

$0, - 4$

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 2)}^{4} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 5.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 6

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $- 5$ و $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $2$ من $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

خطوة 7.2.2.2

ارفع $- 7$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{2401}$ .

$- \frac{5}{2401}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 5$ هو $- \frac{5}{2401}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 4)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 4)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 4, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $- 2$ و $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $2$ من $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

خطوة 8.2.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

خطوة 8.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

خطوة 8.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $256$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

خطوة 8.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $256$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

خطوة 8.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

خطوة 8.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

خطوة 8.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = - 2$ هو $\frac{1}{64}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 4, 0)$ .

تزايد خلال $(- 4, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $1 + 4$ في $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

خطوة 9.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

أضف $1$ و $4$ .

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

خطوة 9.2.3.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

خطوة 9.2.3.3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f' (1) = - 5$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- 5$ .

$- 5$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 5$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 2)$ .

تناقص خلال $(0, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أضف $3$ و $4$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

خطوة 10.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اطرح $2$ من $3$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

خطوة 10.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

خطوة 10.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب $3$ في $7$ .

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

خطوة 10.2.3.2

اقسِم $21$ على $1$ .

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

خطوة 10.2.3.3

اضرب $- 1$ في $21$ .

$f' (3) = - 21$

خطوة 10.2.4

الإجابة النهائية هي $- 21$ .

$- 21$

خطوة 10.3

المشتق في $x = 3$ هو $- 21$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(2, \infty)$ .

تناقص خلال $(2, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 11

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 4, 0)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$

خطوة 12