حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x - 2 \cos (x)$

خطوة 1

اكتب $2 x - 2 \cos (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 - 2 (- \sin (x))$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 + 2 \sin (x)$ .

$2 + 2 \sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 + 2 \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin (x) = - 2$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 \sin (x) = - 2$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 \sin (x) = - 2$ على $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $- 2$ على $2$ .

$\sin (x) = - 1$

خطوة 3.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 3.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 3.7

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 3.7.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.8

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.8.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.9

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 3.9.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.9.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.9.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.9.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.9.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 3.9.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.10

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.11

وحّد الإجابات.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ هو $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

خطوة 6.4

المشتق في $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ هو $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

خطوة 7.3

بسّط.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

خطوة 7.4

المشتق في $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ هو $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

خطوة 9