حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

خطوة 1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 7 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

خطوة 3.4.3

اضرب $2$ في $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \cdot 1}$

خطوة 3.5.3

اضرب $- 7$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7}$

خطوة 4

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x^{1}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5.1.2.5

اقسِم $4 x^{2}$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $6$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 + \frac{- 7}{x}}$

خطوة 5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - \frac{7}{x}}$

خطوة 6

عند اقتراب $x$ من $\infty$ ، يقترب الكسر $\frac{7}{x}$ من $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - 0}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر غير محدود بينما قاسمه يقترب من عدد ثابت، إذن الكسر $\frac{4 x^{2}}{6 - 0}$ يقترب من ما لا نهاية.

$\infty$