حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ بـ $2 y$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ في $y^{2} = 2 x$ بـ $2 y$ .

$y^{2} = 2 (2 y)$

$x = 2 y$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ في $y^{2} = 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $4 y$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - 4 y = 0$

$x = 2 y$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} - 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y \cdot y - 4 y = 0$

$x = 2 y$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- 4 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 4 = 0$

$x = 2 y$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y + y \cdot - 4$ .

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$y = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $y$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y = 0$

$x = 2 y$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $y - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $y - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

خطوة 1.2.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 4$

$x = 2 y$

$y = 4$

$x = 2 y$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $y (y - 4) = 0$ صحيحة.

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ بـ $0$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ في $x = 2 y$ بـ $0$ .

$x = 2 (0)$

$y = 0$

خطوة 1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

خطوة 1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ بـ $4$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ في $x = 2 y$ بـ $4$ .

$x = 2 (4)$

$y = 4$

خطوة 1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اضرب $2$ في $4$ .

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(8, 4)$

$(0, 0)$

$(8, 4)$

خطوة 2

أوجِد حل $y^{2} = 2 x$ بمعلومية $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x = y^{2}$ .

$2 x = y^{2}$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $2 x = y^{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = y^{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 y d y - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{4} 2 y - (\frac{y^{2}}{2}) d y$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\int_{0}^{4} 2 y - \frac{y^{2}}{2} d y$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{4} 2 y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

خطوة 4.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{4} y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

خطوة 4.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

خطوة 4.8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4} y^{2} d y)$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

خطوة 4.10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

احسِب قيمة $\frac{y^{2}}{2}$ في $4$ وفي $0$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

خطوة 4.10.2

احسِب قيمة $\frac{1}{3} y^{3}$ في $4$ وفي $0$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$2 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 (8 - \frac{0}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$2 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (8 - \frac{0}{1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$2 (8 - 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 (8 + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.6

أضف $8$ و $0$ .

$2 \cdot 8 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.7

اضرب $2$ في $8$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.8

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $64$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.10.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

خطوة 4.10.3.11

اضرب $0$ في $- 1$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

خطوة 4.10.3.12

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0)$

خطوة 4.10.3.13

أضف $\frac{64}{3}$ و $0$ .

$16 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3}$

خطوة 4.10.3.14

اضرب $\frac{64}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$16 - \frac{64}{3 \cdot 2}$

خطوة 4.10.3.15

اضرب $3$ في $2$ .

$16 - \frac{64}{6}$

خطوة 4.10.3.16

احذِف العامل المشترك لـ $64$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.16.1

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$16 - \frac{2 (32)}{6}$

خطوة 4.10.3.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.16.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.10.3.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.10.3.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$16 - \frac{32}{3}$

خطوة 4.10.3.17

لكتابة $16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

خطوة 4.10.3.18

اجمع $16$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

خطوة 4.10.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

خطوة 4.10.3.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.20.1

اضرب $16$ في $3$ .

$\frac{48 - 32}{3}$

خطوة 4.10.3.20.2

اطرح $32$ من $48$ .

$\frac{16}{3}$

خطوة 5