حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 \cos^{2} (x)$

خطوة 1

اكتب $5 \cos^{2} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.1.3

اضرب $2$ في $5$ .

$f' (x) = 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.1.4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 10 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 2.1.5

اضرب $- 1$ في $10$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 10 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.3.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 3.4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 3.4.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.4.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ هو $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π n}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π n}{2} - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 10 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- 10 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 10 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$- 10 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

خطوة 6.4

المشتق في $x = \frac{π n}{2} - 1$ هو $- 10 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π n}{2})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π n}{2}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π n}{2} + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 10 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $- 10 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 10 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

خطوة 7.3

بسّط.

$- 10 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

خطوة 7.4

المشتق في $x = \frac{π n}{2} + 1$ هو $- 10 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{π n}{2}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

خطوة 9