حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

خطوة 1.2

بما أن الأُس $x^{2}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x^{2}}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

خطوة 4

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x^{3}}$

خطوة 4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

خطوة 4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

خطوة 4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x^{3}}$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{2 x^{3}}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{x (2 x^{2})}$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{x (2 x^{2})}$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

خطوة 5.1.2

بما أن الأُس $x^{2}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x^{2}}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

خطوة 5.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 5.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 5.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 5.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 5.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 5.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 (2 x)}$

خطوة 5.3.7

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x}$

خطوة 5.4

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x}$

خطوة 5.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

خطوة 5.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

خطوة 5.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

خطوة 5.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

خطوة 5.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2}$

خطوة 6

بما أن الدالة $e^{x^{2}}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $\frac{1}{2}$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $\frac{1}{2}$ المحذوف.

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

خطوة 6.2

بما أن الأُس $x^{2}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x^{2}}$ تقترب من $\infty$ .

$\infty$