حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ و $g (x) = x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 3$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 3$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.6.2

اطرح $3$ من $5$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.7.1

اجمع $\frac{5}{3}$ و ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.1.7.2

اجمع $\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ و $5$ .

$\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.1.7.3

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 1.1.1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 1.1.1.10

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

خطوة 1.1.1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

خطوة 1.1.1.11.2

اضرب $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{25}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.7.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2 {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.7.3

انقُل ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

خطوة 1.1.2.7.4

اضرب $\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{25}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.2.7.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.5.1

اضرب $2$ في $25$ .

$\frac{50}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.2.7.5.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 1.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 1.1.2.10

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

خطوة 1.1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

خطوة 1.1.2.11.2

اضرب $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$50 = 0$

خطوة 1.2.3

بما أن $50 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$5 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{5}}$

خطوة 2.2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

الرسم البياني مقعر لأعلى لأن المشتق الثاني موجب.

الرسم البياني مقعر لأعلى

خطوة 4