حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x^{3} + 7) e^{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3} + 7$ و $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 1.3.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 0)$

خطوة 1.3.4

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} e^{x} + 7 e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2} + 7 e^{x}$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2} + 7 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 7 e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 7 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 7 e^{x}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x)) + 7 e^{x}$

خطوة 2.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x)) + 7 e^{x}$

خطوة 2.5.2.2

أضف $e^{x} (3 x^{2})$ و $3 x^{2} e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x + 7 e^{x}$

خطوة 2.5.2.2.2

أضف $3 x^{2} e^{x}$ و $3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x + 7 e^{x}$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 7 e^{x}$

خطوة 2.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 7 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 7 e^{x}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 7 e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 7 e^{x}$