حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (θ) = θ \sin (θ)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = θ$ و $g (θ) = \sin (θ)$ .

$θ \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 1.2

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \cdot 1$

خطوة 1.3.2

اضرب $\sin (θ)$ في $1$ .

$f' (θ) = θ \cos (θ) + \sin (θ)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $θ \cos (θ) + \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = θ$ و $g (θ) = \cos (θ)$ .

$θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \sin (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 2.2.4

اضرب $\cos (θ)$ في $1$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 2.3

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \cos (θ)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $\cos (θ)$ و $\cos (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + 2 \cos (θ)$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (θ) = - θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $h (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$ .

$- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$