حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3

بما أن $2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (1 - x^{2} - y^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ .

$4 x + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 - x^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x^{2} - y^{2}$ .

$4 x + 0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2} - y^{2}$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2} - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.7

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.9

اطرح $2 x$ من $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.10

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.11

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}}$ .

$4 x + 0 - (\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}} x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.12

اجمع $\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}}$ و $x$ .

$4 x + 0 - \frac{- 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 x + 0 - - \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 x + 0 + 1 \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.15

اضرب $\frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ في $1$ .

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أضف $4 x$ و $0$ .

$4 x + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

خطوة 6.1.2

لكتابة $4 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 - x^{2} - y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}}$ .

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2})}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

خطوة 6.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

خطوة 6.1.4

أضف $\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ و $0$ .

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{- x^{2} - y^{2} + 1}$