حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 4 \sqrt{x} + x - 11$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 4 \sqrt{x} + x - 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$6 x^{2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.6

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$6 x^{2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 x^{2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 x^{2} - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.10

اطرح $4$ من $1$ .

$6 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.11

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.12

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 3.13

أضف $2 x^{- 3}$ و $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.10

اجمع $4$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.12

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 4.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

خطوة 5.2

بما أن $- 11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

خطوة 6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

خطوة 6.2.2

أضف $6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1$ و $0$ .

$6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1$