حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arcsin (x)$ و $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

خطوة 2.2

مشتق $\arcsin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ و $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{1}{u}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x - 1}{u}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

خطوة 3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

خطوة 3.7.2

اضرب $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ في $1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x - 1}{u}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

خطوة 4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ بالصيغة $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد كتابة $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

خطوة 4.2.3.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $u^{2}$ من $u^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

خطوة 4.2.3.1.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

خطوة 4.2.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

خطوة 4.2.4

اجمع $\frac{1}{u}$ و $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

خطوة 4.2.5

اجمع $u$ و $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ .

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

خطوة 4.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

خطوة 4.2.6.2

اقسِم $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ على $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$